Resolución de problemas.
En términos globales, la resolución de un problema comienza con un texto lingüístico y termina con una operación que da lugar a una solución numérica. En este proceso podemos distinguir diferentes componentes. Así, el texto verbal se traslada a una representación interna abstracta en la que se recogen las distintas proposiciones, sus relaciones, así como la situación cualitativa descrita en el enunciado. Sobre la base de esta representación se selecciona una operación aritmética o una estrategia de conteo informal para encontrar el elemento desconocido de la representación, ejecutándose posteriormente la acción u operación seleccionada. Una vez hecho esto se puede reactivar la representación inicial del problema, sustituyendo el elemento no conocido por el resultado de la acción ejecutada. A partir de aquí se llevan a cabo una serie de acciones de verificación para comprobar la exactitud de la solución encontrada.
Se han propuesto diferentes modelos para explicar este proceso de resolución de problemas. Todos ellos coinciden, de una manera u otra, en que la resolución de problemas supone un elaborado proceso en el que hay que poner en marcha sofisticadas estrategias para comprender el enunciado, esto es, para trasladar el texto verbal a una representación interna abstracta en la que se recogen las distintas proposiciones, sus relaciones semánticas, así como la situación cualitativa descrita en el enunciado. Y para ello es necesario acceder a cierto conocimiento conceptual que permita establecer estas relaciones semánticas.
En una extensión de estos modelos basados en la comprensión textual, Reusser ha propuesto un modelo que introduce un paso intermedio entre el texto base y el modelo del problema, el cual denomina modelo de la situación episódico o modelo mental de la situación denotada por el texto del problema. Este paso guiaría la comprensión de los acontecimientos específicos de la historia presentada en el problema, tales como la estructura temporal de las acciones o las intenciones de los actores implicados. En palabras del autor "los problemas Resolución de problemas
En términos globales, la resolución de un problema comienza con un texto lingüístico y termina con una operación que da lugar a una solución numérica. En este proceso podemos distinguir diferentes componentes7-15. Así, el texto verbal se traslada a una representación interna abstracta en la que se recogen las distintas proposiciones, sus relaciones, así como la situación cualitativa descrita en el enunciado. Sobre la base de esta representación se selecciona una operación aritmética o una estrategia de conteo informal para encontrar el elemento desconocido de la representación, ejecutándose posteriormente la acción u operación seleccionada. Una vez hecho esto se puede reactivar la representación inicial del problema, sustituyendo el elemento no conocido por el resultado de la acción ejecutada. A partir de aquí se llevan a cabo una serie de acciones de verificación para comprobar la exactitud de la solución encontrada.
Se han propuesto diferentes modelos para explicar este proceso de resolución de problemas16-21. Todos ellos coinciden, de una manera u otra, en que la resolución de problemas supone un elaborado proceso en el que hay que poner en marcha sofisticadas estrategias para comprender el enunciado, esto es, para trasladar el texto verbal a una representación interna abstracta en la que se recogen las distintas proposiciones, sus relaciones semánticas, así como la situación cualitativa descrita en el enunciado. Y para ello es necesario acceder a cierto conocimiento conceptual que permita establecer estas relaciones semánticas.
Así, por ejemplo, algunos modelos, como los desarrollados por Briars y Larkin o Riley et al. proponen que los problemas más difíciles necesitarían un conocimiento conceptual más avanzado, o si se quiere, los estudiantes fracasarían en la resolución de ciertos problemas porque no poseen el conocimiento conceptual necesario para resolverlos correctamente. Este conocimiento conceptual es un tipo de conocimiento esquemático, el cual implica, precisamente, operar con las relaciones semánticas descritas en el texto del problema. En el nivel más alto de competencia, el esquema del problema permite establecer relaciones semánticas que proyectan la información textual del enunciado en un esquema parte-todo. Esto significa conocer que, de los tres conjuntos que aparecen en el texto del problema de una operación, uno actúa como el "todo" y los otros dos como las "partes" dentro de una estructura parte-parte-todo (véase más adelante).
Otros autores17,18 han propuesto modelos más complejos en los que la comprensión textual interactúa con la construcción de la representación del problema en términos de conjuntos y sus interrelaciones. En este caso, el procesamiento textual y el conocimiento conceptual se integran para comprender y resolver un problema. Así, Kintsch y Greeno plantean que desde el texto del problema se deriva una representación textual "dual" en la que se puede distinguir, al igual que ocurre en la comprensión de textos, dos componentes: una estructura proposicional de la información descrita en el enunciado o texto base, donde se representan sus aspectos superficiales y semánticos, y un modelo de la situación, que se denomina modelo del problema, en el que se incluiría la información que se infiere desde la base de conocimientos que se posee sobre el mundo y sobre los problemas aritméticos, y se excluiría, si se diera el caso, aquella información del texto base que no se necesite para resolver el problema. En este sentido, los problemas que implican algo más que la aplicación de una operación para su resolución, bien porque contienen información superflua o porque omiten información necesaria, se resolverían desde la construcción del modelo del problema.
En una extensión de estos modelos basados en la comprensión textual, Reusser ha propuesto un modelo que introduce un paso intermedio entre el texto base y el modelo del problema, el cual denomina modelo de la situación episódico o modelo mental de la situación denotada por el texto del problema. Este paso guiaría la comprensión de los acontecimientos específicos de la historia presentada en el problema, tales como la estructura temporal de las acciones o las intenciones de los actores implicados. En palabras del autor "los problemas situacionales se organizan en torno a algún protagonista con ciertas necesidades, motivos y propósitos, y que está implicado en ciertas interacciones con coactores, objetos e instrumentos", y que para resolver el problema "se debe convertir en transparente la estructura funcional y temporal de la acción". Supondría entonces un acceso al conocimiento del mundo real para entender el enunciado del problema.
En definitiva, para resolver un problema hay que desencadenar una serie de estrategias que permitan crear una representación del mismo; en este proceso interactúan distintos tipos de conocimientos como lingüísticos, del mundo y matemáticos.
¿Porqué algunos problemas son más difíciles de resolver?
Una vez analizados los componentes implicados en el proceso de resolución de problemas, vamos a centrarnos en los diferentes grados de dificultad de los distintos problemas. La idea fundamental que queremos plantear es que diferentes tipos de estructuras aditivas necesitan diferente conocimiento conceptual, o, para ser más precisos, el grado de dificultad de los problemas viene marcado por el tipo de conocimiento conceptual implicado en la resolución de los mismos25.
Como ya hemos apuntado, los enunciados de los problemas pueden ser considerados como verdaderos textos, esto es, como auténticas entidades discursivas. En este sentido, podemos hablar de distintos tipos de problemas en función de su estructura semántica, es decir, de las posibles relaciones que se establecen entre los conjuntos que aparecen en el enunciado. Son las cuatro categorías de estructuras semánticas básicas ya conocidas: cambio, combinación, comparación e igualación.
Es fácil imaginar que los distintos tipos de problemas ofrecen diferentes grados de dificultad en su resolución. Así, uno de los resultados más recurrentes ha sido que los problemas de comparación son los más difíciles de resolver. Sin embargo, más que la propia estructura semántica, parece jugar un papel más importante el lugar que ocupa la cantidad desconocida. Este factor hace que podamos distinguir entre problemas con un lenguaje consistente y con un lenguaje inconsistente o conflictivo, como decíamos más atrás. En los primeros los términos del enunciado (por ejemplo, "ganar" o "más que" coinciden con la operación a realizar (una suma, como en cambio 1 o comparación 3), mientras que en los segundos, los términos entran en conflicto con la operación (aparece "ganar" o "más que" y hay que hacer una resta, como en cambio 5 o comparación 5). Pero lo más importante es que lo que diferencia ambos tipos de problemas es el conocimiento conceptual implicado en cada un o de ellos.
Así, los problemas consistentes se pueden resolver a partir del modelado directo, construyendo el modelo de la situación del problema secuencialmente, proposición por proposición, tal como se presentan en el texto del problema. De esta manera, los conocimientos requeridos para este tipo de problemas no van más allá del uso de ciertas formas de relaciones numéricas de carácter protocuantitativo, que integradas con los principios básicos del conteo permiten el desarrollo de estrategias de conteo apropiadas para resolver este tipo de situaciones problemáticas. Es más, el modelo de traslación directa puede ser funcional con este tipo de problemas.
La resolución de los problemas inconsistentes, sin embargo, requieren proyectar la información textual del enunciado a un esquema parte-todo. Esto significa conocer que, de los tres conjuntos que aparecen en el texto base, uno actúa como el "todo" y los otros dos como las "partes" dentro de una estructura parte-parte-todo. Tomemos como referencia el problema de comparación que planteábamos para revisar el modelo en el punto anterior: "Juan tiene 8 canicas; él tiene 3 más que Pedro; ¿cuántas canicas tiene Pedro?". Los tres conjuntos mencionados son el conjunto referente (las canicas de Pedro), que ha sido comparado a otro, el conjunto comparado (las canicas de Juan), y la diferencia entre los dos conjuntos, el conjunto diferencia. Desde las proposiciones de la segunda frase del enunciado se infiere si el conjunto referente es el conjunto mayor y el conjunto comparado es el menor, o viceversa, de tal forma que, desde un esquema parte-todo, se conoce que "conjunto menor = conjunto mayor - conjunto diferencia" o "conjunto mayor = conjunto menor + conjunto diferencia", y así transformar la información textual en una ecuación matemática. En el problema que nos ocupa, y con la ayuda de esta transformación matemática, se infiere que el conjunto comparado es el mayor y el conjunto referente (el desconocido) es el menor, y así decidir hacer una resta. Lógicamente, y como veíamos en el modelo propuesto de resolución de problemas, estas inferencias se llevan a cabo en el modelo de la situación del problema.
Algo similar podemos decir con los problemas de cambio más difíciles, aquellos en los que se pregunta por el conjunto inicial (cambio 5 y 6). Su resolución implica algún tipo de "reversibilidad de las operaciones mentales". Por ejemplo, en un problema de cambio añadiendo del tipo "conjunto inicial desconocido + conjunto cambio = conjunto final" ("Juan tenía algunas canicas; entonces ganó tres en una partida; ahora tiene ocho canicas; ¿cuántas tenía antes de la partida?"), su resolución implica identificar el conjunto inicial desconocido como más pequeño que el conjunto final; por ello, se podría resolver partiendo del conjunto final, al que se le quita las canicas ganadas para saber cuántas tenía en el conjunto inicial. Esta INVERSIÓN, al igual que en los problemas de comparación, implica entender la naturaleza recíproca entre la suma y la resta, y las relaciones parte-todo que se establecen en cualquier triada numérica, base para la comprensión de la composición aditiva de los números. Es importante no confundir el conocimiento de estas relaciones parte-todo con la estructura parte-todo característica de los problemas de combinación. No se trata de convertir, en el modelo de la situación del problema, los problemas de cambio o comparación en un problema de combinación parte-parte-todo. Más bien, este tipo de conocimiento conceptual tiene que ver con el esquema parte-todo característico de relaciones numéricas avanzadas.
Podemos concluir, entonces, que la resolución de problemas requiere poner en marcha diferentes procesos en los que la comprensión del enunciado juega un papel relevante. Pero el proceso de comprensión puede estar mediatizado por cierto tipo conocimiento conceptual, que en el caso de los problemas con estructura aditiva se relaciona con la composición aditiva (estructura parte-todo) propia de un concepto de número más avanzado. se organizan en torno a algún protagonista con ciertas necesidades, motivos y propósitos, y que está implicado en ciertas interacciones con coactores, objetos e instrumentos", y que para resolver el problema "se debe convertir en transparente la estructura funcional y temporal de la acción". Supondría entonces un acceso al conocimiento del mundo real para entender el enunciado del problema.
En definitiva, para resolver un problema hay que desencadenar una serie de estrategias que permitan crear una representación del mismo; en este proceso interactúan distintos tipos de conocimientos como lingüísticos, del mundo y matemáticos.
¿Porqué algunos problemas son más difíciles de resolver?
Una vez analizados los componentes implicados en el proceso de resolución de problemas, vamos a centrarnos en los diferentes grados de dificultad de los distintos problemas. La idea fundamental que queremos plantear es que diferentes tipos de estructuras aditivas necesitan diferente conocimiento conceptual, o, para ser más precisos, el grado de dificultad de los problemas viene marcado por el tipo de conocimiento conceptual implicado en la resolución de los mismos.
Como ya hemos apuntado, los enunciados de los problemas pueden ser considerados como verdaderos textos, esto es, como auténticas entidades discursivas. En este sentido, podemos hablar de distintos tipos de problemas en función de su estructura semántica, es decir, de las posibles relaciones que se establecen entre los conjuntos que aparecen en el enunciado. Son las cuatro categorías de estructuras semánticas básicas ya conocidas: cambio, combinación, comparación e igualación.
Es fácil imaginar que los distintos tipos de problemas ofrecen diferentes grados de dificultad en su resolución. Así, uno de los resultados más recurrentes ha sido que los problemas de comparación son los más difíciles de resolver. Sin embargo, más que la propia estructura semántica, parece jugar un papel más importante el lugar que ocupa la cantidad desconocida. Este factor hace que podamos distinguir entre problemas con un lenguaje consistente y con un lenguaje inconsistente o conflictivo, como decíamos más atrás. En los primeros los términos del enunciado (por ejemplo, "ganar" o "más que" coinciden con la operación a realizar (una suma, como en cambio 1 o comparación 3), mientras que en los segundos, los términos entran en conflicto con la operación (aparece "ganar" o "más que" y hay que hacer una resta, como en cambio 5 o comparación 5). Pero lo más importante es que lo que diferencia ambos tipos de problemas es el conocimiento conceptual implicado en cada un o de ellos.
Así, los problemas consistentes se pueden resolver a partir del modelado directo, construyendo el modelo de la situación del problema secuencialmente, proposición por proposición, tal como se presentan en el texto del problema. De esta manera, los conocimientos requeridos para este tipo de problemas no van más allá del uso de ciertas formas de relaciones numéricas de carácter protocuantitativo, que integradas con los principios básicos del conteo permiten el desarrollo de estrategias de conteo apropiadas para resolver este tipo de situaciones problemáticas. Es más, el modelo de traslación directa puede ser funcional con este tipo de problemas.
La resolución de los problemas inconsistentes, sin embargo, requieren proyectar la información textual del enunciado a un esquema parte-todo. Esto significa conocer que, de los tres conjuntos que aparecen en el texto base, uno actúa como el "todo" y los otros dos como las "partes" dentro de una estructura parte-parte-todo. Tomemos como referencia el problema de comparación que planteábamos para revisar el modelo en el punto anterior: "Juan tiene 8 canicas; él tiene 3 más que Pedro; ¿cuántas canicas tiene Pedro?". Los tres conjuntos mencionados son el conjunto referente (las canicas de Pedro), que ha sido comparado a otro, el conjunto comparado (las canicas de Juan), y la diferencia entre los dos conjuntos, el conjunto diferencia. Desde las proposiciones de la segunda frase del enunciado se infiere si el conjunto referente es el conjunto mayor y el conjunto comparado es el menor, o viceversa, de tal forma que, desde un esquema parte-todo, se conoce que "conjunto menor = conjunto mayor - conjunto diferencia" o "conjunto mayor = conjunto menor + conjunto diferencia", y así transformar la información textual en una ecuación matemática. En el problema que nos ocupa, y con la ayuda de esta transformación matemática, se infiere que el conjunto comparado es el mayor y el conjunto referente (el desconocido) es el menor, y así decidir hacer una resta. Lógicamente, y como veíamos en el modelo propuesto de resolución de problemas, estas inferencias se llevan a cabo en el modelo de la situación del problema.
Algo similar podemos decir con los problemas de cambio más difíciles, aquellos en los que se pregunta por el conjunto inicial (cambio 5 y 6). Su resolución implica algún tipo de "reversibilidad de las operaciones mentales". Por ejemplo, en un problema de cambio añadiendo del tipo "conjunto inicial desconocido + conjunto cambio = conjunto final" ("Juan tenía algunas canicas; entonces ganó tres en una partida; ahora tiene ocho canicas; ¿cuántas tenía antes de la partida?"), su resolución implica identificar el conjunto inicial desconocido como más pequeño que el conjunto final; por ello, se podría resolver partiendo del conjunto final, al que se le quita las canicas ganadas para saber cuántas tenía en el conjunto inicial. Esta INVERSIÓN
, al igual que en los problemas de comparación, implica entender la naturaleza recíproca entre la suma y la resta, y las relaciones parte-todo que se establecen en cualquier triada numérica, base para la comprensión de la composición aditiva de los números. Es importante no confundir el conocimiento de estas relaciones parte-todo con la estructura parte-todo característica de los problemas de combinación. No se trata de convertir, en el modelo de la situación del problema, los problemas de cambio o comparación en un problema de combinación parte-parte-todo. Más bien, este tipo de conocimiento conceptual tiene que ver con el esquema parte-todo característico de relaciones numéricas avanzadas.
, al igual que en los problemas de comparación, implica entender la naturaleza recíproca entre la suma y la resta, y las relaciones parte-todo que se establecen en cualquier triada numérica, base para la comprensión de la composición aditiva de los números. Es importante no confundir el conocimiento de estas relaciones parte-todo con la estructura parte-todo característica de los problemas de combinación. No se trata de convertir, en el modelo de la situación del problema, los problemas de cambio o comparación en un problema de combinación parte-parte-todo. Más bien, este tipo de conocimiento conceptual tiene que ver con el esquema parte-todo característico de relaciones numéricas avanzadas.
Podemos concluir, entonces, que la resolución de problemas requiere poner en marcha diferentes procesos en los que la comprensión del enunciado juega un papel relevante. Pero el proceso de comprensión puede estar mediatizado por cierto tipo conocimiento conceptual, que en el caso de los problemas con estructura aditiva se relaciona con la composición aditiva (estructura parte-todo) propia de un concepto de número más avanzado.
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